Il sistema italo - svizzero:

        Classificazione dei giocatori in base alla forza di gioco - PUNTEGGIO ELO:

il sistema ELO è un metodo usato per calcolare il livello di forza relativo dei vari scacchisti e predire in modo probabilistico i risultati dei loro incontri, tornei, etc.; fu introdotto per la prima volta dalla USCF (Federazione Scacchistica Statunitense) nel 1960, su proposta di Arpad Elo (1903 - 1992), un fisico ed astronomo ungherese, emigrato negli Stati Uniti in giovane età, nonchè Maestro di Scacchi.
Il sistema è fondato su principi statistici che tentano di misurare la "reale forza di gioco" R dei giocatori (ovviamente incognita) e si basa sulle seguenti ipotesi: la prestazione dei giocatori è distribuita secondo la curva normale di Gauss ed ha la stessa deviazione standard per ogni giocatore; tale prestazione varia lentamente nel tempo e il suo valore più attendibile è la media aritmetica della sua distribuzione statistica; la prestazione può essere misurata solo dai risultati delle partite giocate; se un giocatore ha risultati migliori di quanto indichi il suo punteggio Elo, significa che la sua prestazione è migliorata e di conseguenza il punteggio deve essere aumentato (o viceversa); una differenza di 200 punti tra due giocatori significa che il più forte dei due conquisterà il 75% dei punti in un ipotetico "match" fra loro.
Successivi studi mostrarono che la prima ipotesi non è del tutto corretta, in particolare per i giocatori della fascia bassa e alta: la distribuzione statistica è piuttosto quella di una curva logistica; perciò il sistema fu modificato in tal senso, sia dalla USCF sia dalla FIDE (Federation International des Echecs) che lo adottò a partire dal 1970.
Per avere un'idea di quale può essere il punteggio di un giocatore nel sistema Elo, si consideri la seguente tabella:

A tutt'oggi (dicembre 2015) solo 9 persone (Magnus Carlsen, Garry Kasparov, Fabiano Caruana, Levon Aronian, Viswanathan Anand, Veselin Topalov, Hikaru Nakamura, Vladimir Kramnik e Alexander Grischuk) hanno mai raggiunto un punteggio superiore a 2800 punti (il punteggio più alto di Bobby Fischer fu 2785, quello di Karpov 2780). Il punteggio più alto mai ottenuto nella storia è stato conseguito da Carlsen (attuale Campione del Mondo) con 2882 punti (nel maggio 2014); seguono Kasparov con 2851, Caruana con 2844, Aronian con 2830, Anand con 2817, Topalov con 2816, Nakamura con 2814, Kramnik con 2811 e Grischuk con 2810. Attualmente solo 2 giocatori (a parte Kasparov, che quando si è ritirato aveva 2812) hanno un punteggio superiore o uguale a 2800 punti (Carlsen, il primo della lista corrente, ha 2834 punti Elo al dicembre 2015 e Topalov 2803).
In tutta la storia della FIDE, solo 98 giocatori hanno raggiunto o superato nella loro vita 2700 punti (vedi https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_chess_players_by_peak_FIDE_rating).
Il rating più alto mai ottenuto da un giocatore italiano è 2844 di Fabiano Caruana (nel ottobre 2014), il cui punteggio attuale è 2787, che corrisponde al 7° rating del mondo.  Il rating più alto ottenuto da una donna è 2735 di Judit Polgar, ottenuto nel luglio 2005. Questi sono tutti rating ufficiali della FIDE (http://www.fide.com/), la quale da alcuni anni pubblica anche i rating "rapid" e "blitz".
Esiste poi anche un "Live rating", che viene aggiornato dopo ogni incontro (vedi l'ottimo e ricco sito http://2700chess.com/). I rating "live" piú alti della storia sono in genere di poco superiori a quelli ufficiali FIDE. Per esempio il "peak live rating" di Carlsen é 2889,2 dell'aprile 2014.
Ad un nuovo giocatore, precedentemente inclassificato, viene solitamente attribuito il punteggio convenzionale di 1400 (insieme ad un'elevata varianza K, vedi oltre). In occasione di acquisizione di un titolo riconosciuto dalla FIDE (es. Maestro Fide) il punteggio viene aggiornato (se inferiore al minimo della categoria), per riflettere più correttamente la nuova situazione.

       METODO DI CALCOLO:

il punteggio atteso E_A di un giocatore A, in un dato incontro con un altro giocatore B, è dato dalla speranza matematica di quel giocatore, ovvero la somma della probabilità che A vinca l'incontro più la metà della probabilità che l'incontro termini in parità (perchè la "patta" vale 1/2 punto a testa, cioè è considerata come una mezza vittoria più una mezza sconfitta). Tale probabilità si potrebbe calcolare esattamente (nell'ipotesi che le distribuzioni statistiche delle prestazioni seguano una curva logistica) se fosse nota la "forza reale" dei due giocatori. Siccome tali dati sono invece incogniti, essi vengono stimati in base ai punteggi ("rating") ELO attuali, R_A ed R_B rispettivamente. In tal caso la formula per trovare il punteggio atteso per il giocatore A è:

                 (1)

Analogamente la formula per trovare il punteggio atteso per il giocatore avversario B è:

                 (2)

Si noti che la somma dei due valori E_A ed E_B fa 1, come dovrebbe essere ovvio.
Se un giocatore ottiene un punteggio ("score") reale S_A, diverso dal punteggio atteso, significa che il suo "rating" deve essere aggiornato (in aumento se S_A > E_A e in diminuizione se S_A < E_A). Indicando con K la massima possibile variazione per partita, il nuovo punteggio R'_A è dato dalla semplice formula lineare:

                 (3)

in cui eventuali valori decimali vengono approssimati per difetto o per eccesso alla cifra intera. Questo "aggiornamento" può essere fatto (ufficialmente) dopo ogni torneo o addirittura dopo ogni incontro, ovvero dopo un certo periodo di tempo (la FIDE ad esempio aggiorna ufficialmente i punteggi ELO ogni due mesi). In ogni caso all'interno dello stesso periodo di validità dei punteggi, i cambiamenti sono additivi. Un esempio chiarirà la cosa nel modo migliore:

supponiamo che un giocatore A di una certa esperienza di gioco (per il quale ad es. K = 30) abbia un punteggio R_A = 1613 e giochi in un torneo avente 5 turni. Nel 1° turno perda con un giocatore avente 1609 punti, nel 2° turno patti con un giocatore da 1477 punti, poi vinca con un giocatore da 1388, e successivamente vinca contro un giocatore da 1586; infine perda con un giocatore classificato 1720. Il suo punteggio finale sarà di 2,5 punti su 5 totali. Calcolando il suo punteggio atteso totale usando cinque volte la formula (1) si ottiene:
E_A = 0,506 + 0,686 + 0,785 + 0,539 + 0,351 = 2,867.
In base a ciò, il suo nuovo punteggio sarà:
R'_A = 1613 + 30 · (2,5 - 2,867) = 1613 - 11,01 = 1601,99 --> 1602
Il punteggio diminuisce lievemente perchè il giocatore A ha avuto una prestazione lievemente inferiore a quanto ci si sarebbe potuti attendere da lui, dato che ha incontrato un punteggio medio avversario R_M pari a:
R_M = (1609 + 1477 + 1388 + 1586 + 1720) / 5 = 1556
e quindi inferiore al suo. Se fosse riuscito a pattare una delle due partite che ha perso (ad es. al primo turno) e quindi a conseguire 3 punti in totale, il suo nuovo punteggio sarebbe stato invece:
R'_A = 1613 + 30 · (3 - 2,867) = 1613 + 3,99 = 1616,99 --> 1617
perchè avrebbe fatto una prestazione di poco superiore a quanto ci si sarebbe potuti attendere da lui.

Di particolare importanza nella formula (3) è il valore del parametro K che viene utilizzato: un valore troppo basso rende i punteggi ELO troppo "conservativi", mentre un valore troppo alto può produrre un sistema troppo caotico. D'altra parte quando un giocatore viene classificato per la prima volta, il suo punteggio provvisorio può essere anche molto lontano dal valore vero e quindi è opportuno che i suoi aggiornamenti di punteggio vengano calcolati con un valore K abbastanza alto, onde favorire la convergenza verso il valore reale.
La FIDE adotta un sistema basato sulla seguente tabella:

dove la formula che permette di ottenere K nella terza riga, va valutata considerando l'approssimazione al valore intero più vicino (in altre parole non si ammettono valori frazionari di K).
Tale sistema per determinare K è comunque in parte soggetto a critiche; ad esempio l'esperto di statistiche scacchistiche Jeff Sonas ritiene che il valore 10 usato per gli scacchisti più forti, sia un valore troppo piccolo e riterrebbe invece più accurato l'uso di un parametro K pari a 24. La USCF utilizza K = 32 per i giocatori meno forti e K = 16 per i più forti (da Maestro in su). Siti web che offrono modalità di gioco "on-line" usano vari sistemi diversi tra loro, a seconda del numero di partite giocate o del rating.
Sono anche stati proposti sistemi che premiano i giocatori più attivi (con una certa frequenza di partite classificate in un certo arco di tempo) e puniscono quelli meno attivi.
Si noti inoltre che in ogni caso vanno escluse dal computo Elo le partite perse per forfait, simultanee, alla cieca, dimostrative, a tema e a tempo ridotto (lampo o semi-lampo). Per quest'ultimo tipo di partite sono stati introdotti punteggi Elo a parte (come fanno anche molti siti internet di gioco on-line).
Un rating alternativo che sembra molto interessante é il sistema Glicko (http://www.glicko.net/glicko.html).
Esso viene usato anche dall'ottimo sito di gioco on-line Lichess (http://en.lichess.org/ o in italiano http://it.lichess.org/)

Infine si può accennare al fatto che negli ultimi anni, soprattutto per i Tornei Internazionali ad altissimo livello, si tende a fornire anche una stima della prestazione ELO di ogni singolo partecipante, da confrontare con il rispettivo punteggio ELO. Tale prestazione non va confusa con la variazione effettiva del punteggio ELO del giocatore (ottenuta in base alla formula (3) per intenderci) in seguito ai risultati ottenuti. La prestazione rappresenta invece il punteggio ELO che dovrebbe avere un giocatore per avere un punteggio atteso pari ai punti effettivi che ha ottenuto il reale giocatore considerato in quel torneo (e contro quegli avversari). Chiaramente se i punti ottenuti coincidono con i punti attesi, la prestazione coincide con il reale punteggio ELO del giocatore considerato. In caso contrario, vi sono vari metodi di stimare la prestazione.
La stima più naturale (e più usata nella pratica) può essere fatta in base alla stessa curva con cui viene calcolato il punteggio atteso, cioè la curva logistica; se p_% indica la percentuale di punti ottenuti sul totale di punti disponibili (n° delle partite giocate), si ha:

         Perf = R_M + 400 · Log₁₀ [ p_% / ( 100 - p_% ) ]       (4)

Ciò dovrebbe produrre un risultato più realistico nella maggior parte dei casi concreti; tuttavia cade in difetto nel caso che un giocatore vinca tutte le partite (in cui la sua prestazione verrebbe considerata pari ad infinito!) o nel caso che al contrario perda tutti gli incontri (in cui la sua prestazione verrebbe considerata pari a meno infinito!!). In entrambi questi casi limite, la valutazione non sarebbe quindi affatto realistica.
Per ovviare a ciò Jeff Sonas propone nel suo sito (http://chessmetrics.com/cm/) una semplice interpolazione lineare

         Perf = R_M + [ ( p_% - 50) ·  8,5 ]       (5)

basata sulla sua esperienza statistica e che ha il vantaggio di avvicinarsi di molto alla curva logistica nella parte centrale, oltrechè evitare le situazioni singolari presentate precedentemente.
Ad es. nel caso dell'esempio suesposto, relativo al giocatore di punteggio 1613 (nell'ipotesi iniziale di 2 vittorie, 2 sconfitte e 1 patta), la prestazione valutata, sia secondo la formula (4) che secondo la formula (5), sarebbe pari al punteggio medio degli avversari, cioè 1556. Nella seconda ipotesi invece (2 vittorie, 1 sconfitta e 2 patte), la formula (4) fornirebbe 1626 punti (approssimando alla parte intera) e la formula (5) darebbe invece una prestazione da 1641 punti. Si tratta comunque di una differenza non grande.
Le cose sarebbero andate diversamente se il giocatore dell'esempio fosse riuscito a vincere tutte le cinque partite (evento improbabile ma non impossibile), nel qual caso il suo nuovo punteggio Elo sarebbe diventato 1677, la sua prestazione sarebbe stata valutata pari a 1981 secondo la formula (5) e, poco realisticamente, pari a infinito in base alla (4).
Un metodo che unisce i pregi di entrambi, per quanto più complesso, potrebbe essere quello di utilizzare la formula (4) nel più comune intervallo centrale (p_% che va da 15,79 % a 84,21 % - valori in corrispondenza ai quali le due linee si intersecano) e la formula (5) negli intervalli esterni (meno del 15,79 % o più del 84,21 %).